Question

如圖AB是⊙O的切線，切點為B，AO交⊙O于點C，過點C作DC⊥OA，交AB于點D.

(1)求證：∠CDO＝∠BDO；
(2)若∠A＝30°，⊙O的半徑為4，求陰影部分的面積(結果保留π)．

Answer 1

（1）見解析   （2）－

(1)證明：AB切⊙O于點B，
∴OB⊥AB，即∠B＝90°.
又∴DC⊥OA，∴∠OCD＝90°.
在Rt△COD與Rt△BOD中，OD＝OD，OB＝OC，
∴Rt△COD≌Rt△BOD.
∴∠CDO＝∠BDO.
(2)在Rt△ABO中，∠A＝30°，OB＝4，
∴∠BOC＝60°，
∵Rt△COD≌Rt△BOD，
∴∠BOD＝30°，
∴BD＝OB·tan 30°＝.
∴S_{四邊形OCDB}＝2S_△OBD＝2××4×＝.
∵∠BOC＝60°，
∴S_扇形OBC＝＝.
∴S_陰影＝S_{四邊形OCDB}－S_扇形OBC＝－.