Question

【題目】已知拋物線C1：y＝(x－1)2＋1與y軸交于點A，過點A與點(1，3)的直線與C1交于點B

(1) 求直線AB的函數表達式

(2) 如圖1，若點P為直線AB下方的C1上一點，求點P到直線AB的距離的最大值

(3) 如圖2，將直線AB繞點A順時針旋轉90°后恰好經過C1的頂點C，沿射線AC的方向平移拋物線C1得到拋物線C2，C2的頂點為D，兩拋物線相交于點E．設交點E的橫坐標為m．若∠AED＝90°，求m的值

Answer 1

【答案】(1) y＝x＋2(2)(3)m=1+

【解析】(1) y＝x＋2

(2) 設P(a，a2－2a＋2)

過點P作PQ∥y交軸交AB于Q

∴Q(a，a＋2)

∴PQ＝(a＋2)－(a2－2a＋2)＝－a2＋3a＝

當時，PQ有最大值為

過點P作PM⊥AB于M

∵直線AB與豎直方向的夾角為45°

∴△PQM為等腰直角三角形

∴PM＝

即P到AB的距離的最大值為

方法2：P在平行于AB且于拋物線相切的切點處

(3) 直線AD的解析式為y＝－x＋2

設D(n，－n＋2)

∴C2：y＝(x－n)2－n＋2

∵E(m，m2－2m＋2)同時也在C2上

∴(m－n)2－n＋2＝m2－2m＋2

整理得：(2m－n)(n－1)＝0，n＝2m或n＝1（舍去）

∴D(2m，－2m＋2)

接下來使用K字型

過點E作MN∥x軸交y軸于M，過點D作DN⊥MN于N

∴△DNE∽△EMA

∴DN·AM＝ME·EN

即[(m2－2m＋2)－(－2m＋2)]·[(m2－2m＋2)－2]＝m2，m2－2m－1＝0

解得

∵m＞0

∴