Question

【題目】我市某商場有甲、乙兩種商品，甲種每件進價15元，售價20元；乙種每件進價35元，售價45元．
（1）若商家同時購進甲、乙兩種商品100件，設甲商品購進x件，售完此兩種商品總利潤為y 元．寫出y與x的函數關系式．
（2）該商家計劃最多投入3000元用于購進此兩種商品共100件，則至少要購進多少件甲種商品？若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤是多少元？
（3）“五一”期間，商家對甲、乙兩種商品進行表中的優惠活動，小王到該商場一次性付款324元購買此類商品，商家可獲得的最小利潤和最大利潤各是多少？

打折前一次性購物總金額	優惠措施
不超過400元	售價打九折
超過400元	售價打八折

Answer 1

【答案】
（1）解：設甲商品購進x件，則乙商品購進（100﹣x）件，由題意，得

y=（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）=﹣5x+1000，

故y與x之間的函數關系式為：y=﹣5x+1000；

（2）解：由題意，得15x+35（100﹣x）≤3000，

解之，得x≥25．

∵y=﹣5x+1000，k=﹣5＜0，

∴y隨x的增大而減小，

∴當x取最小值25時，y最大值，此時y=﹣5×25+1000=875（元），

∴至少要購進25件甲種商品；若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤是875元；

（3）解：設小王到該商場購買甲種商品m件，購買乙種商品n件．

① 當打折前一次性購物總金額不超過400時，購物總金額為324÷0.9=360（元），

則20m+45n=360，m=18﹣ n＞0，∴0＜n＜8．

n是4的倍數，有3種情況：

情況1：m=0，n=8，則利潤是：324﹣8×35=44（元）；

情況2：m=9，n=4，則利潤是：324﹣（15×9+35×4）=49（元）；

情況3：m=18，n=0，則利潤是：324﹣15×18=54（元）；

② 當打折前一次性購物總金額超過400時，購物總金額為324÷0.8=405（元），

③ 則20m+45n=405，m= ＞0，∴0＜n＜9．

m、n均是正整數，有3種情況：

情況1：m=9，n=5，則利潤為：324﹣（9×15+5×35）=14（元）；

情況2：m=18，n=1，則利潤為：324﹣（18×15+1×35）=19（元）．

綜上所述，商家可獲得的最小利潤是14元，最大利潤是54元．

【解析】（1）根據利潤=甲種商品的利潤+乙種商品的利潤就可以得出結論；（2）根據“商家計劃最多投入3000元用于購進此兩種商品共100件”列出不等式，解不等式求出其解，再根據一次函數的性質，求出商家可獲得的最大利潤；（3）設小王到該商場購買甲種商品m件，購買乙種商品n件．分兩種情況討論：①打折前一次性購物總金額不超過400；②打折前一次性購物總金額超過400．