Question

【題目】拋物線與軸交于， ，與軸交于．　

（1）若，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

（2）如圖1，在（1）的條件下，設拋物線的對稱軸交軸于，在對稱軸左側的拋物線上有一點，使，求點的坐標；

（3）如圖2，設， 于，在線段上是否存在點，使？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2+2x-3，對稱軸為：x=-1；（2）點E坐標為（-4，5）；（3）m的取值范圍是：-4≤m≤4，且m≠0.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可得解析式，再根據拋物線對稱軸公式即可得對稱軸；

（2）先求出AC的解析式，然后求出過點D與AC平行的直線解析式，即可得到直線AC向上平移了6個單位長度，再根據可知點E為直線AC向上平移20個單位長度后與拋物線的交點，聯立解析式解方程組即可得；

（3）分m>0、m<0兩種情況進行討論即可得.

試題解析：（1）∵與軸交于， ，m=-3，

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x-3，

對稱軸為：x=-1；

（2）∵點A（1，0），C（0，-3），

∴直線AC為y= 3x-3，

∴過點D（-1，0）且平行于AC的直線ll為：y= 3x+3，

∴直線AC向上平移6個單位得到直線l1，

∴將直線AC向上平移個單位得到直線l2：y=3x+17，

聯立方程組， ，

解得， ， (不合題意，舍去)，

∴點E坐標為（-4，5）；

（3）設點P（0，y），

①當m＜0時，如圖所示，易證△POB～△FPG，得，

∴，

∴m=y2+4y=(y+2)2-4，

∵-4＜y＜0，

∴-4≤m＜0；

②當m＞0時，如圖所示，易證△POB～△FPG，得，

∴，

∴m= -y2 -4y= -(y+2)2+4，

∵-4＜y＜0，

∴0＜m≤4，

綜上所述，m的取值范圍是：-4≤m≤4，且m≠0.