Question

19．（1）如圖（1），在△ABC和△CDE中，已知AC⊥BC，EC⊥DC，且AC=CD，BC=CE，你能判斷AB與ED的關系嗎？
（2）若將△ABC沿CD方向平移得到圖（2），請直接判斷△ADE的形狀，不需要說明理由；若此時EC₁=7，AC₂=3，你知道線段C₁C₂的長度嗎？說明你的解題思路．
（3）應用上述方法與結論，按照圖（3）中的數據，請你直接寫出圖（3）中實線所圍成的圖形面積．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△ABC≌△DEC，得出AB=ED，∠B=∠E；再由直角三角形的性質和對頂角相等證出∠E+∠EAM=90°，即可得出AB⊥ED；
（2）同（1）得：△ABC₂≌△DEC₁，由全等三角形的性質得出C₁D=AC₂=3，DC₂=EC₁=6，即可得出C₁C₂的長；
（3）作AF⊥l于F，DG⊥l于G，BH⊥l于H，由（1）（2）得：△ACF≌△CDG，△DGE≌△EHB，得出CF=DG=3，AF=CG=6，GE=BH=4，EH=DG=3，求出梯形ABHF的面積、△ACF的面積=△CDG的面積、△DEG的面積=△BEH的面積，即可得出實線所圍成的圖形面積．

解答 解：（1）能判斷，AB=ED，AB⊥ED，理由如下：
∵AC⊥BC，EC⊥DC，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在△ABC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{BC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=ED，∠B=∠E；
延長BA交DE于M，如圖1所示：
∵∠B+∠BAC=90°，∠EAM=∠BAC，
∴∠E+∠EAM=90°，
∴∠AME=90°，
∴AB⊥ED；
（2）知道線段C₁C₂的長度，線段C₁C₂=6，理由如下
同（1）得：△ABC₂≌△DEC₁，
∴C₁D=AC₂=3，DC₂=EC₁=6，
∴C₁C₂=3+6=9；
（3）作AF⊥l于F，DG⊥l于G，BH⊥l于H，如圖所示：
由（1）（2）得：△ACF≌△CDG，△DGE≌△EHB，
∴CF=DG=3，AF=CG=6，GE=BH=4，EH=DG=3，
∴梯形ABHF的面積=$\frac{1}{2}$（6+4）×（3+6+4+3）=80，
△ACF的面積=△CDG的面積=$\frac{1}{2}$×6×3=9，△DEG的面積=△BEH的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴實線所圍成的圖形面積=80-9-6=65．

點評 本題是三角形綜合題目．考查了全等三角形的判定與性質、三角形和梯形面積的計算；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．