Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E，BE交⊙O于點F，連接AF，AF的延長線交DE于點P．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）求tan∠ABE的值；

（3）若OA=2，求線段AP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）；（3）

【解析】

（1）連接AD、OD，根據圓周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形的直線得DC=DB，所以OD為△BAC的中位線，則OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，

這樣根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）易得四邊形OAED為正方形，然后根據正切的定義計算tan∠ABE的值；

（3）由AB是⊙O的直徑得∠AFB=90°，再根據等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，則tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定義可計算出EP，然后利用勾股定理可計算出AP．

（1）證明：連接AD、OD，如圖，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴AD垂直平分BC，即DC=DB，

∴OD為△BAC的中位線，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，

∴四邊形OAED為矩形，

而OD=OA，

∴四邊形OAED為正方形，

∴AE=AO，

∴tan∠ABE=；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴∠ABF+∠FAB=90°，

而∠EAP+∠FAB=90°，

∴∠EAP=∠ABF，

∴tan∠EAP=tan∠ABE=，

在Rt△EAP中，AE=2，

∵tan∠EAP=，

∴EP=1，

∴AP==．