Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，其中是大于零的常數(shù).
（1）請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）試求四邊形的面積與的關(guān)系式；
（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，問：四邊形能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，說明理由.

Answer 1

解：（1）四邊形是平行四邊形.  
證明：∵、分別是、的中點(diǎn)
∴∥                        
同理，∥
∴四邊形是平行四邊形   
（2）解法一：    
由（1）得：∥ 
∴∽
∴  ∴
同理     
∴， 即 
解法二：連結(jié)，
=  
∵、分別是、的中點(diǎn)
∴        
同理                  
∴， 即
（3）解法一：以為圓心，長為直徑的圓記為⊙，
① 當(dāng)直線與⊙相切或相交時(shí)，若點(diǎn)是交點(diǎn)或切點(diǎn)，則，
由（1）知，四邊形是矩形.           
此時(shí)0＜，＞0，可得∽
故 即  
在中， ∴ ∴，
解得     
② 當(dāng)直線與⊙相離時(shí)，，
∴四邊形不是矩形，此時(shí)＞4，
∴當(dāng)＞4時(shí)，四邊形不是矩形
綜上所述：當(dāng)0＜，四邊形是矩形，這時(shí)；當(dāng)＞4時(shí)，四邊形不是矩形.
解法二：由（1）知：當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，
此時(shí)∽.
∴， 即       
又， ，
∴        
∴
① 當(dāng)時(shí)，解得，這時(shí)四邊形是矩形.
② 當(dāng)時(shí)，不存在，這時(shí)四邊形不是矩形. 
解法三：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),

在中，
在中，
在中，當(dāng)時(shí)，，
則四邊形是矩形.
所以
化簡(jiǎn)得：
配方得： 

（1）四邊形DEFB是平行四邊形．利用DE、EF為△OAB的中位線證明平行四邊形；
（2）根據(jù)DE、EF為△OAB的中位線可知，S△AEF=S△ODE=1/4S△AOB，利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S與b的關(guān)系式；
（3）當(dāng)∠ABO=90°時(shí)，四邊形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽R(shí)t△ABO，根據(jù)相似比得OB²=OA•BC，由勾股定理得OB²=BC²+OC²，利用b、t分別表示線段的長，列方程求解．