Question

【題目】如圖，已知△ABC和△DCE是等邊三角形，連接BE，連接DA并延長交CE于點F，交BE于點G，CD=6，EF=2，那么EG的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由等邊三角形的性質可得BC=AC，EC=CD=6，∠ACB=∠ECD=60°，由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠BEC=∠ADC，EC=DC，根據∠GFE=∠CFD，∠FCD=60°，可得△EGF∽△DCF，則有，可得，設GF=2a，EG=3a，過F作FM⊥EG交EG于M點，在RT△GMF中，利用∠MGF=60°，GF=2a得到GM=a，在RT△EMF中，ME=2a，EF=2，，由勾股定理得，由勾股定理得，即，化簡求解即可.

解：

∵△ABC和△DCE是等邊三角形，
∴BC=AC，EC=CD=6，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BAE=∠ACD，且BC=AC，EC=CD，

∴△ACD≌△BCE

∴∠BEC=∠ADC，

∵CD=6；EF=2

∴FC=4

又∵∠GFE=∠CFD；∠FCD=60°

∴△EGF∽△DCF

∴∠EGF=∠FCD=60°且

即

∴設GF=2a，EG=3a；

過F作FM⊥EG交EG于M點

在RT△GMF中，∠MGF=60°，GF=2a

∴GM=a，

∴ME=GE-MG=2a

在RT△EMF中，ME=2a，EF=2，

由勾股定理得

即解得

∴GE=3a=