Question

已知關于的一元二次方程．
（1）求證：當取不等于l的實數時，此方程總有兩個實數根．
（2）若是此方程的兩根，并且，直線：交軸于點A，交軸于點B，坐標原點O關于直線的對稱點O′在反比例函數的圖象上，求反比例函數的解析式．
（3）在（2）的成立的條件下，將直線繞點A逆時針旋轉角，得到直線′，′交軸于點P，過點P作軸的平行線，與上述反比例函數的圖象交于點Q，當四邊形APQO′的面積為時，求角的值．

Answer 1

（1）證明
∵為關于的一元二次方程
∴,即≠1
∴△＝
∴△≥0
∴當取不等于1的實數時,此方程總有兩個實數根．
∴,
（2）∵ 
∴
又∵、是方程的兩根
∴
∵
∴
∴直線的解析式為
∴直線與軸交點A（－3,0）與軸交點B（0,3）
∴△ABO為等腰直角三角形
∴坐標原點O關于直線的對稱點O′的坐標為（－3,3）
∴反比例函數的解析式為
（3）解:設點P的坐標為（0,P）,延長PQ和AO′交于點G
∵PQ∥軸,與反比例函數圖象交于點Q
∴四邊形AOPG為矩形
∴Q的坐標為（,P）
∴G（－3,P）
當0°＜＜45°,即P＞3時
∵GP＝3，GQ＝3，GO′＝P－3，GA＝P
∴S_{四邊形APQO’}＝S_△APG－S_△GQO’
＝×GA×GP－×GQ×GO’
＝×P×3－（3）×（P－3）
＝
∴ 
∴P＝
經檢驗,P＝ 符合題意
∴P（0，）
∴AP=6
點A關于軸的對稱點A′（3，0），連結A′P，
易得AP=PA′=6，又∵AA′=6
∴AA′=AP=A′P
∴∠PAO＝60°
∵∠BAO＝45°
∴＝∠PAO －∠BAO ＝60°－45°＝15°
當45°≤＜90°，即P＜－3時，
可類似地求得P=，這與P＜－3矛盾，所以此時點P不存在
∴旋轉角＝15°

（1）由方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0為一元二次方程，所以a≠0；要證明方程總有兩個實數根，即證明當a取不等于1的實數時，△＞0，而△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，即可得到△≥0
（2）先利用求根公式求出兩根3，，再代入，可得到a=2，則m=1，n=3，直線l：y=x+3，這樣就可得到坐標原點O關于直線l的對稱點，代入反比例函數y="k/x" ，即可確定反比例函數y="k/x" 的解析式；
（3）延長PQ，AO′交于點G，設P（0，p），則Q（-9/p ，p）．四邊形APQO'的面積=
S_△APG-S_△QPO′=，這樣可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，這樣就可求出θ．