Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2-(2k+3)+k2+3k-4=0．

(1) 試判斷上述方程根的情況并說明理由；

(2) 若以上一元二次方程的兩個根分別為、(),

① m=________,n=_________；

②當時，點A、B分別是直線：y=kx+上兩點且A、B兩點的橫坐標分別為、，直線與軸相交于點C，若S△BOC=2S△AOC，求的值；

（3）在(2)的條件下，問在軸上是否存在點Q，使△ABQ的三個內角平分線交點在軸上？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)方程有兩個不相等的實數根，理由略；(2)①m=k-1 n=k+4；② k=；(3)(0，) .

【解析】

（1）根據判別式的值即可判斷；

（2）①根據一元二次方程的求根公式即可得出；

②先根據三角形的面積公式列出關于m，n的式子，再將m= k-1，n= k+4代入，即可得出答案；

（3）假設存在點Q，使△ABQ的三個內角平分線交點在軸上，則此時y軸就是∠AQB的角平分線，從而得知點B（，5）和對稱點B'（-，5）在直線AQ上，待定系數法可得直線AQ的解析式，由點Q在y軸上即可得點Q的坐標．

解：（1）∵x2-(2k+3)x+k2+3k-4=0，

∴△=b2-4ac=（2k+3）2-4（k2+3k-4）=4k2+12k+9-4k2-12k+16=25>0，

∴該方程有兩個不相等的實數根．

（2）①∵一元二次方程的求根公式x=，

∴m= = ==k-1，

n====k+4．

② ∵S△BOC=2S△AOC，

S△BOC=××（），

S△AOC=××（），

∴××（）×2=××（），

∴2（）=，

2km-kn=-，

將m= k-1，n= k+4代入，得：2k（k-1）-k（k+4）+=0，

解得：k=或，

∵0<k<1，

∴k=．

（3）由（2）得知，直線l：，A（，），B（，5），

假設存在點Q，使△ABQ的三個內角平分線交點在軸上，則此時y軸就是∠AQB的角平分線，

∴B點關于y軸的對稱點必在直線AQ上，設為B'，

∵B（，5），

∴B'（-，5）．

∴直線AQ過A（，），B'（-，5）得到AQ的直線方程為：，

∵點Q在y軸上，當x=0時，y=，

∴Q（0，）．