Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t＜5）．

（1）求證：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的長；

（3）設四邊形AFEC的面積為y，求y關于t的函數關系式，并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）6.4cm（3）當t=時，y的最小值為19

【解析】試題分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的長，根據（1）題所得相似三角形的比例線段，即可求出DC的長；

（3）分析圖象可知：四邊形AFEC的面積可由△ABC、△BEF的面積差求得，分別求出兩者的面積，即可得到y、t的函數關系式，進而可根據函數的性質及自變量的取值范圍求出y的最小值．

（1）∵CD∥AB

∴∠BAC=∠DCA

又∵AC⊥BC，∠ACB=90o

∴∠D="∠ACB=" 90o

∴△ACD∽△BAC；

（2）

∵△ACD∽△BAC

∴，即，解得：

（3）過點E作AB的垂線，垂足為G，

∴△ACB∽△EGB

∴即，解得

==

故當t=時，y的最小值為19