Question

【題目】如圖所示，在四邊形中，，分別是的中點，，則的長是___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據中位線定理和已知，易證明△PMN是等腰三角形，根據等腰三角形的性質和已知條件即可求出∠PMN的度數為30°，通過構造直角三角形求出MN．

解：∵在四邊形ABCD中，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，
∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，
∴PM=AB=2，PN=DC=2，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=80°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180-80）°=120°，
∴∠PMN==30°．

過P點作PH⊥MN，交MN于點H．

∵HQ⊥MN，
∴HQ平分∠MHN，NH=HM．
∵MP=2，∠PMN=30°，
∴MH=PMcos60°=，
∴MN=2MH=2．