Question

【題目】按要求回答問題：

（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC，點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如圖①）．求證：EB=AD；
（2）若將（1）中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其它條件不變（如圖②），（1）的結論是否成立，并說明理由；
（3）若將（1）中的“若∠A=60°”改為“若∠A=90°”，其它條件不變，則 的值是多少？（直接寫出結論，不要求寫解答過程）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：作DF∥BC交AC于F，如圖1所示：

則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，

∴△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，

∴AD=DF，

∵∠DEC=∠DCE，

∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，

在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD；

（2）

解：EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延長線于F，如圖2所示：

同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，

又∵∠DBE=∠DFC=60°，

∴在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD

（3）

解： = ；理由如下： 作DF∥BC交AC于F，如圖3所示：

同（1）得：△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴DF= AD，

∴ = ，

∴ = ．

【解析】（1）作DF∥BC交AC于F，由平行線的性質得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，證出△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知條件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論；（2）作DF∥BC交AC的延長線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論；（3）作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，證出△ADF是等腰直角三角形，得出DF= AD，即可得出結果．本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．