Question

如圖，在直角坐標系中，O是原點，A，B，C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P，Q同時從原點出發，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC，CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）求直線OC的解析式．
（2）設從出發起，運動了t秒．如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍．
（3）設從出發起，運動了t秒．當P，Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由．

Answer 1

（1）∵O，C兩點的坐標分別為O（0，0），C（8，6），設OC的解析式為y=kx+b，
將兩點坐標代入得：k=

3

4

，b=0．
∴y=

3

4

x．

（2）當Q在OC上運動時，可設Q(m，

3

4

m)，依題意有：m2+(

3

4

m)2=(2t)2，解得m=

8

5

t．
則Q(

8

5

t，

6

5

t)（0≤t≤5）．
當Q在CB上運動時，Q點所走過的路程為2t．
∵OC=10，
∴CQ=2t-10．
∴Q點的橫坐標為2t-10+8=2t-2．
∴Q（2t-2，6）（5≤t≤10）．

（3）∵梯形OABC的周長為44，當Q點在OC上運動時，P運動的路程為t，則Q運動的路程為（22-t）．
△OPQ中，OP邊上的高為：(22-t)×

3

5

．
∴S△OPQ=

1

2

t(22-t)×

3

5

，S梯形OABC=

1

2

(18+10)×6=84．
依題意有：

1

2

t(22-t)×

3

5

=84×

1

2

．
整理得：t²-22t+140=0．
∵△=22²-4×140＜0，
∴這樣的t不存在．
當Q在BC上運動時，Q走過的路程為（22-t），
∴CQ的長為：22-t-10=12-t．
∴S梯形OCQP=

1

2

×6(22-t-10+t)=36≠84×

1

2

．
∴這樣的t值也不存在．
綜上所述，不存在這樣的t值，使得P，Q兩點同時平分梯形的周長和面積．