Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M是拋物線C2：（＜0）的頂點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，求的值．

（3）“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）-;（3）P（，-）；.

【解析】

試題分析: （1）將y=mx2-2mx-3m化為交點(diǎn)式，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先表示出DM2，BD2，MB2，再利用DM2+MB2=BD2，即可求得m的值；

（3）先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值．

試題解析：（1）由題意可得：y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴當(dāng)y=0時(shí)，0=m（x-3）（x+1），

解得：x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）如圖1，

∵y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，

∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)（1，-4m），

當(dāng)x=0時(shí)，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，

當(dāng)△BDM為Rt△，∠M為直角的直角三角形時(shí)，有：DM2+MB2=BD2．

DM2+MB2=BD2時(shí)有：m2+1+16m2+4=9m2+9，

解得m=-（m=舍去）．

故m=-時(shí)，△BDM為以∠M為直角的直角三角形；

（3）設(shè)C1：y=ax2+bx+c，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

， 解得，

故C1：y=x2-x-．

如圖2：過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，

由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為：y=x-，

設(shè)P（x，x2-x-），則Q（x，x-），

PQ=x--（x2-x-）=-x2+x，

S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOB=×（-x2+x）×3=-（x-）2+，

當(dāng)x=時(shí)，S△PBC有最大值，Smax=，

則×（）2--=-，

故P（，-）．