Question

【題目】已知二次函數的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為，且當和時二次函數的函數值相等．

（）求實數、的值．

（）如圖，動點、同時從點出發，其中點以每秒個單位長度的速度沿邊向終點運動，點以每秒個單位長度的速度沿射線方向運動，當點停止運動時，點隨之停止運動．設運動時間為秒．連接，將沿翻折，使點落在點處，得到．

①是否存在某一時刻，使得為直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

②設與重疊部分的面積為，求關于的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①存在，或；②當時， ；當時，S；當時，.

【解析】

（1）根據拋物線圖象經過點A以及“當x=-2和x=5時二次函數的函數值y相等”兩個條件，列出方程組求出待定系數的值．
（2）①首先由拋物線解析式能得到點A、B、C三點的坐標，則線段OA、OB、OC的長可求，進一步能得出AB、BC、AC的長；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長，則根據AE、EF、OA、OC的長以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：
1、點C為直角頂點，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點C為直角頂點，所以此時點B、D重合，由此得到AD的長，進而求出t的值；
2、點D為直角頂點，此時∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長后可求出t的值；
3、點F為直角頂點，當點F在線段AC上時，∠DFC是銳角，而點F在射線AC的延長線上時，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．
②此題需要分三種情況討論：
1、當點E在點A與線段AB中點之間時，兩個三角形的重疊部分是整個△DEF；
2、當點E在線段AB中點與點O之間時，重疊部分是個不規則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；
3、當點E在線段OB上時，重疊部分是個小直角三角形．

（）由題意得：，解得：，．

（）①由（）知，

∵，

∴，，

∴，，，

∴，，，

∴，

∴為，且，

∵，，，

又∵，

∴，

∴，

∴翻折后，落在處，∴，

∴，，

若為，點在上時，

i）∴若為直角頂點，則與重合，

∴，，如圖

ii）若為直角頂點，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，如圖

當點在延長線上時，，為鈍角三角形，

綜上所述，或．

②i）當時，重疊部分為，

∴．

ii）當時，設與相交于點，則重疊部分為四邊形，如圖，

過點作于，設，則，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴ ．

iii）當時，重疊部分為，如圖，

∵，，

∴．