Question

如圖，將邊長為2的正方形紙片ABCD折疊，使點B 落在CD上，落點記為E（不與點C，D重合），點A落在點F處，折痕MN交AD于點M，交BC于點N．若，則BN的長是   ，的值等于     ；若（，且為整數），則的值等于       （用含的式子表示）．

Answer 1

，，

試題分析：連接BM，EM，BE，由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱，即可到得MN垂直平分BE，則BM=EM，BN=EN．根據正方形的性質可得∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2，由可得CE=DE=1，設BN=x，則NE=x，NC=2-x，在Rt△CNE中，根據勾股定理即可列方程求得x的值，從而得到BN的長，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，根據勾股定理可得AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，則AM²+AB²=DM²+DE²．設AM=y，則DM=2-y，
即可列方程求得的值；當四邊形ABCD為正方形時，連接BE，，不妨令CD=CB=n，則CE=1，設BN=x，則EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；作MH⊥BC于H，則MH=BC，又點B，E關于MN對稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，則△EBC≌△NMH，則NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=，從而可以求得結果.
連接BM，EM，BE

由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2．
∵，
∴CE=DE=1．
設BN=x，則NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得，即
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
設AM=y，則DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得，即
∴
當四邊形ABCD為正方形時，連接BE，，
不妨令CD=CB=n，則CE=1，設BN=x，則EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；
作MH⊥BC于H，則MH=BC，

又點B，E關于MN對稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，則△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=
則：．
點評：折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．