Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=16cm，BD=12cm，DH⊥BC于點H，交AC于點G．
（1）寫出兩個不全等且與△GHC相似的三角形，并任選其中的一個進行證明；
（2）求GH的長．

Answer 1

【答案】解：（1）△BOC∽△GHC，△GDO∽△GHC，
理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥CD，
∴∠DOG=90°，
∵DH⊥BC于點H，
∴∠GHC=90°，
∵∠DGO=∠CGH，
∴△GDO∽△GHC；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=24cm，BD=18cm，
∴OA=AC=×16=8，OB=BD=×12=6cm，
在Rt△AOB中，AB=10cm，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面積=ACBD=ABDH，
即×16×12=10DH，
解得DH=9.6（cm）．
在Rt△DHB中，BH═7.2cm，
則AH=AB﹣BH=10﹣7.2=2.8（cm），
∵tan∠HAG===，
∴GH=AH=2.1（cm）．
【解析】（1）根據菱形的性質以及相似三角形的判定方法即可得到和GHC相似的三角形；
（2）根據菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB，再根據勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面積列式計算即可得DH的長，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解菱形的性質(菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半)．