Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若OB=5，OP= ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°．

又∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠B，

∴∠BAC+∠AOP=90°．

∵∠P=∠BAC．

∴∠P+∠AOP=90°，

∴由三角形內角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．

又∵OA是的⊙O的半徑，

∴PA為⊙O的切線

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，

∴OA=OB=5．

又∵OP= ，

∴在直角△APO中，根據勾股定理知PA= = ，

由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．

∵∠BAC=∠P，

∴△ABC∽△POA，

∴ = ．

∴ = ，

解得AC=8．即AC的長度為8．

【解析】（1）欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP；（2）通過相似三角形△ABC∽△PAO的對應邊成比例來求線段AC的長度．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．