Question

已知:a、b、c為△ABC的三邊,且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,試判斷△ABC的形狀.
解:∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,①
∴c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²).②
∴c²=a²+b².③
∴△ABC是直角三角形.
問:
(1)在上述解題過程中,從哪一步開始出現錯誤?請寫出該步的代號: ______________;
(2)錯誤的原因為________________________________;
(3)本題正確的解題過程:

Answer 1

(1)③  (2)除式可能為零
(3)∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,
∴c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²).
∴a²-b²=0或c²=a²+b².
當a²-b²=0時，a=b；
當c²=a²+b²時，∠C=90度,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

(1)(2)兩邊都除以a²-b²,而a²-b²的值可能為零，由等式的基本性質，等式兩邊都乘以或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立.
(3)根據等式的基本性質和勾股定理，分情況加以討論.