Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=30°，OA=3．以點O為原點，斜邊OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，以點P（4，0）為圓心，PA長為半徑畫圓，⊙P與x軸的另一交點為N，點M在⊙P上，且滿足∠MPN=60°．⊙P以每秒1個單位長度的速度沿x軸向左運動，設運動時間為ts，解答下列問題：

（發現）（1）的長度為多少；

（2）當t=2s時，求扇形MPN（陰影部分）與Rt△ABO重疊部分的面積．

（探究）當⊙P和△ABO的邊所在的直線相切時，求點P的坐標．

（拓展）當與Rt△ABO的邊有兩個交點時，請你直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】【發現】（1）的長度為；（2）重疊部分的面積為；【探究】：點P的坐標為；或或；【拓展】t的取值范圍是或，理由見解析．

【解析】

發現：（1）先確定出扇形半徑，進而用弧長公式即可得出結論；

（2）先求出PA=1，進而求出PQ，即可用面積公式得出結論；

探究：分圓和直線AB和直線OB相切，利用三角函數即可得出結論；

拓展：先找出和直角三角形的兩邊有兩個交點時的分界點，即可得出結論．

[發現]

（1）∵P（4，0），∴OP=4．

∵OA=3，∴AP=1，∴的長度為．

故答案為：；

（2）設⊙P半徑為r，則有r=4﹣3=1，當t=2時，如圖1，點N與點A重合，∴PA=r=1，設MP與AB相交于點Q．在Rt△ABO中，∵∠OAB=30°，∠MPN=60°．

∵∠PQA=90°，∴PQPA，∴AQ=AP×cos30°，∴S重疊部分=S△APQPQ×AQ．

即重疊部分的面積為．

[探究]

①如圖2，當⊙P與直線AB相切于點C時，連接PC，則有PC⊥AB，PC=r=1．

∵∠OAB=30°，∴AP=2，∴OP=OA﹣AP=3﹣2=1；

∴點P的坐標為（1，0）；

②如圖3，當⊙P與直線OB相切于點D時，連接PD，則有PD⊥OB，PD=r=1，∴PD∥AB，∴∠OPD=∠OAB=30°，∴cos∠OPD，∴OP，∴點P的坐標為（，0）；

③如圖4，當⊙P與直線OB相切于點E時，連接PE，則有PE⊥OB，同②可得：OP；

∴點P的坐標為（，0）；

[拓展]

t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5，理由：

如圖5，當點N運動到與點A重合時，與Rt△ABO的邊有一個公共點，此時t=2；

當t＞2，直到⊙P運動到與AB相切時，由探究①得：OP=1，∴t3，與Rt△ABO的邊有兩個公共點，∴2＜t≤3．

如圖6，當⊙P運動到PM與OB重合時，與Rt△ABO的邊有兩個公共點，此時t=4；

直到⊙P運動到點N與點O重合時，與Rt△ABO的邊有一個公共點，此時t=5；

∴4≤t＜5，即：t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5．