Question

已知：在△AOB中，AB=，OB=6，∠B=45°，以O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系  

（1）寫出點A的坐標：；

（2）C為線段OB上的動點，D為線段AB上的動點，且始終有CD∥OA，若C由O向B運動的距離OC=x，△ACD的面積為y

①求y與x之間的函數關系式；

②是否存在這樣的點D，使△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍？若存在，請求出點D的坐標，否則請說明理由．

Answer 1

       解：（1）過點A作AG⊥x軸于點G，則∠AGB=90°．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4，∠B=45°，

∴AG=BG=4×=4，

∴OG=OB﹣BG=6﹣4=2，

∴點A的坐標為（2，4）．

故答案為（2，4）；

（2）①過點D作DH⊥x軸于點H．

∵CD∥OA，

∴△BCD∽△BOA，

∴=，即=，

∴DH=（6﹣x）．

∵S_△ACD=S_△ABC﹣S_△BCD=BC•AG﹣BC•DH，

∴y=（6﹣x）×4﹣（6﹣x）•（6﹣x）=﹣x²+2x，

即y與x之間的函數關系式為y=﹣x²+2x；

②存在這樣的點D，能夠使△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍．

∵S_△AOC=OC•AG=x×4=2x，

∴2x=2（﹣x²+2x），

整理，得x²﹣x=0，

解得x₁=3，x₂=0（不合題意舍去），

∴x=3．

當x=3時，BH=DH=（6﹣x）=×（6﹣3）=2，

∴OH=OB﹣BH=6﹣2=4，

∴點D的坐標為（4，2）．

點