Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當AE=時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE=時，四邊形CEDF是菱形．

Answer 1

（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CF∥ED，

∴∠FCD=∠GCD，

又∠CGF=∠EGD．

G是CD的中點，

CG=DG，

在△FCG和△EDG中，

∴△CFG≌△EDG（ASA），

∴FG=EG，

∵CG=DG，

∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①解：當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形，

理由是：過A作AM⊥BC于M，

∵∠B=60°，AB=3，

∴BM=1.5，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，

∵AE=3.5，

∴DE=1.5=BM，

在△MBA和△EDC中，

∴△MBA≌△EDC（SAS），

∴∠CED=∠AMB=90°，

∵四邊形CEDF是平行四邊形，

∴四邊形CEDF是矩形，

故答案為：3.5；

②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形，

理由是：∵AD=5，AE=2，

∴DE=3，

∵CD=3，∠CDE=60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CE=DE，

∵四邊形CEDF是平行四邊形，

∴四邊形CEDF是菱形，

故答案為：2．