Question

如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角△ABC和△AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=m，CD=n．
（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對加以證明．
（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據“AAA”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE；
（2）由（1）知，△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，則有△ABE∽△DCA，因為相似三角形的對應邊成比例，所以，

AB

CD

=

BE

AC

，再把已知數據代入求解即可．

解答：解：（1）△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠BAE=45°
∴△ABE∽△DAE．

（2）由（1）可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，則有△ABE∽△DCA．
∴

AB

CD

=

BE

AC

又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，
∴AB=AC=

2

，又BE=m，CD=n，
∴

2

n

=

m

2

，即mn=2，或m=

2

n

（1＜n＜2）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定（判定定理有：AA、SSS、SAS等）與性質（對應邊成比例，對應角相等）和反比例函數的一般應用．