Question

如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠ADE=90°，若△ABC固定不動，△ADE繞點A旋轉，AD、AE與邊BC的交點分別為F、G（點G不與點B重合，點F不與點C重合）．
（1）圖中共有

 

對相似三角形．（△ABC∽△DEA外）
（2）請選其中的一對說明理由．
（3）若等腰直角三角形的斜邊長為2，BF=m，CG=n、求m與n的函數關系式，并直接寫出自變量n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（2）因為△ABC與△ADE是全等的等腰三角形，所以可得：∠B=∠C=∠E=∠EAD=45°，在△ABF與△GAF中∠AFB是公共角，在△AGC與△CGA中∠AGF是公共角，根據相似三角形的判定定理：有兩個角分別對應相等的三角形相似，可得△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF；再根據相似三角形的傳遞性，可得△ABF∽△GCA；
（3）由勾股定理可得CA=BA=

2

，根據相似三角形的對應邊成比例，可得

BF

CA

=

BA

CG

，即可求得m與n的函數關系式，根據題意可得自變量n的取值范圍．

解答：解：（1）依題意可知，△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF；再根據相似三角形的傳遞性，可得△ABF∽△GCA；
故本題答案為：3；

（2）證明：
∵△ABC與△ADE是全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠E=∠EAD=45°，
∵∠AFB=∠AFG，∠AGF=∠BAF，
∴△ABF∽△GAF，△GCA∽△GAF，
∴△ABF∽△GCA．

（3）由△ABF∽△GCA，
∴

BF

CA

=

BA

CG

，
由依題意可知CA=BA=

2

，
∴

m

2

=

2

n

，
∴m=

2

n

，
∵m＜2，
∴n＞1，
∴自變量n的取值范圍為1＜n＜2．

點評：此題考查了相似三角形的判定（有兩個角分別對應相等的三角形相似）與性質（相似三角形的對應邊成比例），還考查了勾股定理．解此題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．