Question

如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=m，CD=n．
（1）△ABE與△DCA是否相似？請加以說明．
（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍．
（3）當BE=CD時，分別求出線段BD、CE、DE的長，并通過計算驗證BD²+CE²=DE²．
（4）在旋轉過程中，（3）中的等量關系BD²+CE²=DE²是否始終成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得到∠BAE=∠CDA，再根據∠B=∠C=45°得到△ABE∽△DCA；
（2）根據△ABE∽△DCA得到

BE

AC

=

BA

CD

，然后代入AC和AB即可得到兩個變量之間的關系；
（3）當BE=CD，即m=n時，由m=

2

n

，得到m、n的值，然后表示出DE、BD和CE，平方后即可證得結論；
（4）將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH的位置，利用旋轉不變性得到CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°．然后連接HD，證得△EAD≌△HAD，從而得到DH=DE，再根據
∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，利用勾股定理得到BD²+HB²=DH²，從而證得BD²+CE²=DE²；

解答：解：（1）△ABE與△DCA會相似，
理由是∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA   …（2分）
又∵∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA；

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴

BE

AC

=

BA

CD

由題意可知CA=BA=

2

∴

m

2

=

2

n

，
∴m=

2

n

（1＜n＜2）；

（3）當BE=CD，即m=n時，
由m=

2

n

，得m=n=

2

∴DE=BE+CD-BC=2

2

-2，
∴BD=BE-DE=2-

2

=CE，
∵BD²+CE²=2BD²=2（2-

2

）²=12-8

2

，DE²=（2

2

-2）²=12-8

2

∴BD²+CE²=DE² ；

（4）成立
證明：如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD   
∴DH=DE
又∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° 
∴BD²+HB²=DH²，
即BD²+CE²=DE²．

點評：本題考查了相似三角形及全等三角形的判定和性質，另外還涉及到了勾股定理和旋轉的性質，綜合性比較強，難度中等偏上．