Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設AP=x．

（1）求AD的長；

（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；

（3）設△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）2．（2）存在，2.（3）π．

【解析】

試題分析：（1）過點C作CE⊥AB于E，根據CE=BCsin∠B求出CE，再根據AD=CE即可求出AD；

（2）若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則△PCB必有一個角是直角．分兩種情況討論：①當∠PCB=90°時，求出AP，再根據在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，從而得到△ADP∽△CPB，②當∠CPB=90°時，求出AP=3，根據且，得出△PCB與△ADP不相似．

（3）先求出S1=π，再分兩種情況討論：

①當2＜x＜10時，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=，在Rt△BMN中，求出BM2=，最后根據S1=πBM2代入計算即可．

②當0＜x≤2時，S2=π（），最后根據S=S1+S2=ππ即可得出S的最小值．

試題解析：（1）過點C作CE⊥AB于E，

在Rt△BCE中，

∵∠B=60°，BC=4，

∴CE=BCsin∠B=4×=2，

∴AD=CE=2．

（2）存在．若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，

則△PCB必有一個角是直角．

①當∠PCB=90°時，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，

∴AP=AB-PB=2．

又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA==，

∴∠DPA=60°，

∴∠DPA=∠CPB，

∴△ADP∽△CPB，

∴存在△ADP與△CPB相似，此時x=2．

②∵當∠CPB=90°時，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，

∴PB=2，PC=2，

∴AP=8．

則且，此時△PCB與△ADP不相似．1

（3）如圖，因為Rt△ADP外接圓的直徑為斜邊PD，則S1=π（）2=π，

①當2＜x＜10時，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；

作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結BM．則BM為△PCB外接圓的半徑．

在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，

∴BG=4，

∵BN=PB=（10-x）=5-x，

∴GN=BG-BN=x-1．

在Rt△GMN中，∴MN=GNtan∠MGN=．

在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=，

∴S2=πBM2=π（）．

②∵當0＜x≤2時，S2=π（）也成立，

∴S=S1+S2=π+π（）=ππ．

∴當x=時，S=S1+S2取得最小值π．