Question

【題目】已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的半圓O交AB于F，E是BC的中點.

求證：直線EF是半圓O的切線.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

連接OF，CF，由直徑所對的圓周角是直角可得∠AFC=∠BFC=90°，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EF=EC，進而得到∠EFC=∠ECF，然后利用等量代換求證∠EFO=90°，得出OF⊥EF即可得證.

證明：如圖，連接OF，CF，

∵AC是直徑，

∴∠AFC=90°，

∴∠BFC=90°，

又∵E是BC的中點，

∴EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵OC=OF，

∴∠OFC=∠FCO，

∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，

∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，

∴OF⊥EF，

∴EF是⊙O的切線.