Question

【題目】如圖，把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=6，求AE＋AF的值.

Answer 1

【答案】（1）∠EPF＝120°；（2）AE＋AF＝6.

【解析】

試題分析: （1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，證明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，問(wèn)題即可得證.

試題解析:

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF于G，
∵PE=PF，
∴FG=EG=EF=2，∠FPG=∠EPG＝∠EPF，
在△FPG中，sin∠FPG= ，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC=BC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴PM=PN，
在Rt△PME于Rt△PNF中，

，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM= ∠DAB=30°，
∴AM=APcos30°=3 ，同理AN=3 ，
∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=6.