Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點的坐標分別為A （0，2），B（﹣1，0），點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按逆時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）、經過點D．

(1)如圖1，若該拋物線經過原點O，且a＝﹣1．

①求點D的坐標及該拋物線的解析式；

②連結CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．

(2)如圖2，若該拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）經過點E（﹣1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，若符合條件的Q點的個數是4個，請直接寫出a的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】(1)①D（﹣3，1），拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣x；②存在，點P的坐標為：P（﹣，）或（﹣，﹣）；(2)a＜﹣或a＞1+或﹣＜a＜1-．

【解析】

（1）①為A （0，2），B（-1，0），BA繞點B按逆時針方向旋轉90°得到線段BD，把原點坐標、點D坐標、a=-1代入拋物線方程，即可求解；

②如下圖所示，∠QOB與∠BCD互余，直線OP的方程為y=-x，將直線方程與拋物線方程聯立即可求解，當P在x軸上方時，用同樣的方法可以求解；

（2）把D、E坐標代入拋物線方程，解得：y=ax2+4ax+（3a+1），①當a＜0時，若符合條件的Q點的個數是4個，則Q點在x軸上下各2個，則3a+1＜0，然后分Q在x軸上方和x軸下方時兩種情況即可求解，同樣可以求出a＞0的情況．

(1)為A （0，2），B（﹣1，0），

①點C為線段AB的中點，則C（-，1），

BA繞點B按逆時針方向旋轉90°得到線段BD，

則D（﹣3，1），∴DC∥x軸，

把原點坐標、點D坐標、a＝﹣1代入拋物線方程，

解得：拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣x…①；

②如下圖所示，∠QOB與∠BCD互余，

當P在x軸上方時，OP⊥AB，

直線AB的k值為2，則直線OP的k值為﹣，

直線OP的方程為y＝﹣x…②，

①、②聯立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，

則點P（﹣， ）；

當P在x軸上方時，

直線OP的方程為y＝x…③，

①、③聯立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，

則P′（﹣，﹣）；

故：存在，點P的坐標為：P（﹣，）或（﹣，﹣）；

(2)把D、E坐標代入拋物線方程，

解得：y＝ax2+4ax+（3a+1）…④，

函數與y軸交點的縱坐標為：3a+1

有(2)知：當Q在x軸上方時，OQ的方程為：y＝﹣x…⑤，

當Q在x軸下方時，OQ的方程為：y＝x…⑥，

①當a＜0時，若符合條件的Q點的個數是4個，則Q點在x軸上下各2個，則3a+1＜0，即：，

Q在x軸上方時，聯立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+＞0，即：必定有2個Q點，

Q在x軸下方時，聯立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，

故：a＜﹣；

②當a＜0時，若符合條件的Q點的個數是4個，則Q點在x軸上下各2個，則3a+1＞0，即：a＞﹣，

Q在x軸上方時，聯立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+＞0，即：必定有2個Q點，

Q在x軸下方時，聯立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，

故：a＞1+或﹣＜a＜1-．

綜上所述：a＜﹣或a＞1或﹣＜a＜1-．