Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，CD＝6，OA交BC于點E，

求(1)∠DBC的度數；(2)弦AD的長度.

Answer 1

【答案】(1) 30；(2) .

【解析】

（1）由AB＝AC，可得，進而OA⊥BC，證明△OAB是等邊三角形，由等邊三角形三線合一可得∠DBC=∠OBA=30°；

（2）由直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半可得OA=OD=6，由三角形外角的性質得∠OAD=∠ODA=30°，過O作OF⊥AD于點F，在中由勾股定理可得AF的值，進而可得AD值.

（1）∵AB＝AC，

∴，

∴OA⊥BC，

∴∠BAE＝∠CAE＝60°，BE＝EC，

∵OA＝OB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠OBA=60°，

∵BE⊥OA，

∴∠DBC=∠OBA=30°；

（2）∵BD為⊙O的直徑，CD＝6，∠DBC =30°，

BD=2CD=12，OA=OD=6，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠OAD+∠ODA=∠AOB=60°，

∴∠OAD=∠ODA=30°，

過O作OF⊥AD于點F，則AF=DF，

在中，OA=6，∠OAF=30°，

∴OF=3，

∴=,

∴AD=2AF=