【題目】當三角形中的一個內角α是另一個內角β的一半時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為直角三角形，則這個“特征角”的度數為______．
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【題目】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角頂點在BC邊上，BP＝1．
①特殊情形：若MP過點A，NP過點D，則
＝ ．
②類比探究：如圖2，將∠MPN繞點P按逆時針方向旋轉，使PM交AB邊于點E，PN交AD邊于點F，當點E與點B重合時，停止旋轉．在旋轉過程中，
的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半徑為1，點E是⊙A上一動點，CF⊥CE交AD于點F．請直接寫出當△AEB為直角三角形時
的值．
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【題目】問題背景：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數學活動．如圖1：將矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，問題解決：
（1）將圖1中的△ACD以點為A旋轉中心，按逆時針方向能轉∠α，使∠α＝∠BAC，得到如圖2所示的△AC'D，過點C作AC'的平行線，與DC'的延長線交于點E，則四邊形ACEC'的形狀是 ．
（2）縝密小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使B、A、D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC'D，連接CC'，取CC'的中點F，連接AF并延長到點G，使FG＝AF，連接CG、C'G，得到四邊形ACGC'，發現它是正方形，請你證明這個結論．
實踐探究：（3）創新小組在縝密小組發現結論的基礎上，進行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時A點平移至A'點，A'C與BC'相交于點H，如圖4所示，連接CC'，試求tan∠C'CH的值．
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【題目】定義：經過三角形一邊中點，且平分三角形周長的直線叫做這個三角形在該邊上的中分線，其中落在三角形內部的部分叫做中分線段．
（1）如圖，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC邊上的中分線段，F為AC中點，過點B作DE的垂線交AC于點G，垂足為H，設AC＝b，AB＝c．
①求證：DF＝EF；
②若b＝6，c＝4，求CG的長度；
（2）若題（1）中，S△BDH＝S△EGH，求
的值．
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【題目】2019年1月有300名教師參加了“新技術支持未來教育”培訓活動，會議就“面向未來的教育”和“家庭教育”這兩個問題隨機調查了60位教師，并對數據進行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息：
a．關于“家庭教育”問題發言次數的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：0≤x＜4，4≤x＜8，8≤x＜12，12≤x＜16，16≤x＜20，20≤x≤24）：
b．關于“家庭教育”問題發言次數在8≤x＜12這一組的是：
8899910101010101011111111
c．“面向未來的教育”和“家庭教育”這兩問題發言次數的平均數、眾數、中位數如下：
問題 | 平均數 | 中位數 | 眾數 |
面向未來的學校教育 | 11 | 10 | 9 |
家庭教育 | 12 | m | 10 |
根據以上信息，回答下列問題：
（1）表中m的值為______；
（2）在此次采訪中，參會教師更感興趣的問題是______（填“面向未來的教育”或“家庭教育”），理由是______；
（3）假設所有參會教師都接受調查，估計在“家庭教育”這個問題上發言次數超過8次的參會教師有______位．
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【題目】如圖，在⊙O中，AB為直徑，AC為弦．過BC延長線上一點G，作GD⊥AO于點D，交AC于點E，交⊙O于點F，M是GE的中點，連接CF，CM．
（1）判斷CM與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的長．
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【題目】如圖，已知OA是⊙O的半徑，AB為⊙O的弦，過點O作OP⊥OA，交AB的延長線上一點P，OP交⊙O于點D，連接AD，BD，過點B作⊙O的切線BC交OP于點C
(1)求證：∠CBP＝∠ADB；
(2)若O4＝4，AB＝2，求線段BP的長．
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【題目】如圖，二次函數y＝ax2﹣3ax+c的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C直線y＝﹣x+4經過點B、C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）過點A的直線交拋物線于點M，交直線BC于點N．
①點N位于x軸上方時，是否存在這樣的點M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
②連接AC，當直線AM與直線BC的夾角∠ANB等于∠ACB的2倍時，請求出點M的橫坐標．
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