Question

【題目】(1)問題發現

如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，點D是線段AB上一動點，連接BE.

填空: ①的值為 ；②∠DBE的度數為 .

(2)類比探究

如圖2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，點D是線段AB上一動點，連接BE.請判斷的值及∠DBE的度數，并說明理由.

(3)拓展延伸

如面3，在(2)的條件下，將點D改為直線AB上一動點，其余條件不變，取線段DE的中點M，連接BM、CM，若AC=2，則當△CBM是直角三角形時，線段BE的長是多少?請直接寫出答案.

Answer 1

【答案】（1）1，90°；（2），90°，理由見解析；（3）3+或3-

【解析】

（1）易得△ABC和△CDE為等腰直角三角形，所以AC=BC，CD=CE，通過證明△ACD≌△BCE，可得AD=BE和∠CAD=∠CBE=45°，進而得出答案；

（2）通過證明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE的度數；

（3）分點D在線段AB上和BA延長線上兩種情況討論，由直角三角形的性質可證CM=BM=，即可求DE=，由相似三角形的性質可得∠ABE=90°，BE=AD，由勾股定理可求BE的長．

解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，

∴∠ABC=∠CAB=45°，∠CDE=∠CED=45°

∴AC=BC，CD=CE

∵∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45°

∴=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°

故答案為：1，90°；

（2）=，∠DBE=90°，理由如下：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，∠CED=∠ABC=30°，

∴tan∠ABC=tan30°==.

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，

∴Rt△ACB∽Rt△DCE，

∴=，且∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴==，∠CBE=∠CAD=60°,

∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°；

（3）若點D在線段AB上，如圖，

由（2）知：==，∠ABE=90°，

∴BE=AD，

∵AC=2，∠ACB=90°，∠CAB=60°，

∴AB=4，BC=2.

∵∠ECD=∠ABE=90°，且點M是DE中點，

∴CM=BM=DE，

且△CBM是直角三角形，

∴CM2+BM2=BC2=（2）2，

∴BM=CM=，

∴DE=2，

∵DB2+BE2=DE2，

∴（4-AD）2+（AD）2=24，

∴AD=+1，

∴BE=AD=3+；

若點D在線段BA延長線上，如圖，

同理可得：DE=2，BE=AD，

∵BD2+BE2=DE2，

∴（4+AD）2+（AD）2=24，

∴AD=-1，

∴BE=AD=3-.

綜上所述：BE的長為3+或3-.