Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經過Rt△AOB直角邊AB上的三等分點C，與斜邊OA相交于點M，則$\frac{OM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 A（a，3b），M（m，n），則C（a，b）或（a，2b），作MN⊥OB于N．分兩種情形求解即可．

解答 解：設A（a，3b），M（m，n），則C（a，b）或（a，2b），作MN⊥OB于N．

∵MN∥AB，
∴$\frac{ON}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{OM}{OA}$，
∴$\frac{n}{3b}$=$\frac{m}{a}$，
∴n=$\frac{3bm}{a}$，
①當C（a，b）時，∵M、C在y=$\frac{k}{x}$上，
∴ab=$\frac{3b{m}^{2}}{a}$，
∴a=$\sqrt{3}$m，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{ON}{OB}$=$\frac{m}{\sqrt{3}m}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
②當C（a，2b）時，∵M、C在y=$\frac{k}{x}$上，
∴2ab=$\frac{3b{m}^{2}}{a}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$m，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{ON}{OB}$=$\frac{m}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}m}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
綜上所述，$\frac{OM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查反比例函數的應用、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．