Question

【題目】如圖1，拋物線y2與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸相交于點C，對稱軸與x軸相交于點H，與AC相交于點T．

（1）點P是線段AC上方拋物線上一點，過點P作PQ∥AC交拋物線的對稱軸于點Q，當△AQH面積最大時，點M、N在y軸上（點M在點N的上方），MN，點G在直線AC上，求PM+NGGA的最小值．

（2）點E為BC中點，EF⊥x軸于F，連接EH，將△EFH沿EH翻折得△EF'H，如圖所示2，再將△EF'H沿直線BC平移，記平移中的△EF'H為△E'F″H'，在平移過程中，直線E'H'與x軸交于點R，則是否存在這樣的點R，使得△RF'H'為等腰三角形？若存在，求出R點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點R的坐標為R(﹣4，0)或R(5，0)

【解析】

（1）由拋物線解析式可求，對稱軸x＝2，過P點作PT′∥QT，由PQ∥AC可知，四邊形QTT′P是平行四邊形，QT＝PT’，因為HT為定值，所以PT′最大時，△AQH面積最大，由此構建二次函數，求出點P坐標，過點G作GE⊥x軸于E，作x軸關于直線AC的對稱直線l，E的對稱點為E′，將PM沿y軸向下平移個單位至P′N，作點P′關于y軸的對稱點P″，過P″作P″S⊥l于S，則有PM+NGGA＝P″N+NG+GE′≥P″S，求出P″S即可；

（2）先求得點E，F，F′，H′，R的坐標，根據△RF'H'為等腰三角形，分三種情況分別求解即可．

（1）如圖1，拋物線y2與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的右側），

∴A（6，0）；B（﹣2，0）；C（0，2），

∴直線AC的解析式為：，

∵tan∠CAO，

∴∠CAO＝30°

過P點作PT′∥QT，交AC于T′，

設P，T′，

則PT′m+2（m+2）（m﹣3）2

∵PQ∥AC，

∴四邊形QTT′P是平行四邊形，

∴QT＝PT′，

當△AQH面積最大時，HQ最大，即PT′最大，

即m＝3時，△AQH面積最大，

此時P點坐標為．

過點G作GE⊥x軸于E，作x軸關于直線AC的對稱直線l，E的對稱點為E′，將PM沿y軸向下平移個單位至P′N，作點P′關于y軸的對稱點P″，過P″作P″S⊥l于S，則有

PM+NGGA＝P″N+NG+GE′≥P″S

∵P′（3，），P″與P′關于y軸對稱

∴P″（﹣3，），

∵∠CAO＝30°，直線l與x軸關于直線AC對稱

∴∠CAS＝∠CAO＝30°，

∴∠SAO＝60°

設直線l的解析式為y＝kx+b，則k＝﹣tan∠SAO＝﹣tan60°

∴yx+b，將A（6，0）代入得：06+b，解得：b＝6，

∴直線l的解析式為yx+6，

∵P″S⊥l

∴∠P″SA＝90°

過點P″作P″K∥x軸交AS于K，則K（，），

∴P″K（﹣3），

∵P″K∥x軸

∴∠P″KS＝∠SAO＝60°

∵sin∠SAO

∴P″S＝P″Ksin∠SAOsin60°，′

∴PM+NGGA的最小值；

（2）∵y2（x﹣2）2

∴拋物線對稱軸為直線x＝2，

∴H（2，0），

由（1）知：A（6，0）；B（﹣2，0）；C（0，2），

∵點E為BC中點，EF⊥x軸于F，

∴E（﹣1，），F（﹣1，0）

∴F′（，）

∵

∴△EF′H沿直線BC平移，各個點橫縱坐標變化為，設△EF′H沿直線BC平移后的△E′F″H′各頂點坐標分別為E′（﹣1+t，t），H′（2+t，t）

則直線E′H′解析式為yxt，令y＝0，則x＝2+4t

∴R（2+4t，0），

∴H′R2＝[（2+t）﹣（2+4t）]2+（t﹣0）2＝12t2，

H′F′2＝[2+t）]2+（t）2＝4t2﹣6t+9，

F′R216t2+12t+9，

∵△RF'H'為等腰三角形，

∴H′R2＝H′F′2或H′F′2＝F′R2或F′R2＝H′R2，

①當H′R2＝H′F′2時，則12t2＝4t2﹣6t+9，解得：t1，t2

此時，R（﹣4，0）或R（5，0）

②當H′F′2＝F′R2時，則4t2﹣6t+9＝16t2+12t+9，解得：t＝0或，

t＝0不符合題意，t與①重復

③當F′R2＝H′R2時，16t2+12t+9＝12t2，解得：t1＝t2，與①重復

綜上所述，點R的坐標為R（﹣4，0）或R（5，0）．