Question

（2012•河北）如圖，拋物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=

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（x-3）²+1交于點(diǎn)A（1，3），過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．則以下結(jié)論：
①無(wú)論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；②a=1；③當(dāng)x=0時(shí)，y₂-y₁=4；④2AB=3AC；
其中正確結(jié)論是（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：根據(jù)與y₂=

1

2

（x-3）²+1的圖象在x軸上方即可得出y₂的取值范圍；把A（1，3）代入拋物線y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；由拋物線與y軸的交點(diǎn)求出，y₂-y₁的值；根據(jù)兩函數(shù)的解析式直接得出AB與AC的關(guān)系即可．

解答：解：①∵拋物線y₂=

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2

（x-3）²+1開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸的上方，∴無(wú)論x取何值，y₂的值總是正數(shù)，故本小題正確；
②把A（1，3）代入，拋物線y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，解得a=

2

3

，故本小題錯(cuò)誤；
③由兩函數(shù)圖象可知，拋物線y₁=a（x+2）²-3解析式為y₁=

2

3

（x+2）²-3，當(dāng)x=0時(shí)，y₁=

2

3

（0+2）²-3=-

1

3

，y₂=

1

2

（0-3）²+1=

11

2

，故y₂-y₁=-

1

3

-

11

2

=-

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6

，故本小題錯(cuò)誤；
④∵物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=

1

2

（x-3）²+1交于點(diǎn)A（1，3），
∴y₁的對(duì)稱軸為x=-2，y₂的對(duì)稱軸為x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小題正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵．