Question

【題目】閱讀與思考 婆羅摩笈多（Brahmagupta），是一位印度數學家和天文學家，書寫了兩部關于數學和天文學的書籍，他的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位，他的負數概念及加減法運算僅晚于中國《九章算術》，而他的負數乘除法法則在全世界都是領先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內容及部分證明過程如下：
已知：如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC⊥BD于點P，PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，求證：CN=DN．
證明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．
∴∠BAP=∠BPM．
∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．
∴…

（1）請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成剩余的證明部分．
（2）已知：如圖2，△ABC內接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，點D在⊙O上，∠BCD=60°，連接AD，與BC交于點P，作PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，則PN的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，

∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．

∴∠BAP=∠BPM．

∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．

∴∠DPN=∠PDN，

∴DN=PN，

同理：CN=PN，

∴CN=DN

（2）1
【解析】解： （2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°， ∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°，
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠CPD=90°，
在△CPD和△APB中， ，
∴△CPD≌△APB（AAS），
∴CD=AB=2，
∵∠CPD=90°，PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，
∴同（1）得：CN=DN，
∴PN= CD=1；
所以答案是：1．
【考點精析】掌握含30度角的直角三角形和圓內接四邊形的性質是解答本題的根本，需要知道在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．