Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE．將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)α＝0°時(shí)，＝_______；

②當(dāng)α＝180°時(shí)，＝______．

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．

（3）問(wèn)題解決

△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小沒(méi)有變化，證明見(jiàn)解析；（3）BD的長(zhǎng)為或．

【解析】

（1）①當(dāng)α＝0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α＝180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)＝，求出的值是多少即可．

（2）首先判斷出∠ECA＝∠DCB，再根據(jù)＝＝，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，分別求解即可．

解：（1）①當(dāng)α＝0°時(shí)，

∵Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴AC＝＝＝2，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，

∴＝．

②如圖1中，

當(dāng)α＝180°時(shí)，

可得AB∥DE，

∵＝，

∴＝＝．

故答案為：①，②．

（2）如圖2，

當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒(méi)有變化，

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

又∵＝＝，

∴△ECA∽△DCB，

∴＝＝．．

（3）①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，

∴BE＝＝＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

∵＝，

∴BD＝＝．

②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，

BE＝＝＝1，AE＝AB-BE =4﹣1＝3，

∵＝，

∴BD＝，

綜上所述，滿足條件的BD的長(zhǎng)為或．