Question

【題目】如圖，半徑為3的⊙O分別與x軸，y軸交于A，D兩點，⊙O上兩個動點B，C，使∠BAC＝45°恒成立，設△ABC的重心為G，則DG的最小值是_______．

Answer 1

【答案】．

【解析】

連接AG并延長，交BC于點F，由三角形ABC的重心為G，可知F為BC的中點，再由垂徑定理可知OF⊥BC，從而可求得OF的長；在AO上取點E，使AE=2EO，連接GE，可判定三角形AGE相似于三角形AFO，由相似三角形的性質列出比例式，求得GE的長，進而可得點E的坐標，利用勾股定理求出DE的長，根據G在以E為圓心，2為半徑的圓上運動，可知DG的最小值為DE的長減去，計算即可.

解：連接AG并延長，交BC于點F.

∵△ABC的重心為G

∴F為BC的中點，

∴OF⊥BC，

∵∠BAC=45°

∴BOF=45°

∴OBF=45°

∴OF=BF=FC=

∵△ABC的重心為G，

∴AG=AF.

在AO上取點E，使AE=AO，連接GE，

∴E（1，0）

∵.

∴△AGE∽△AFO，

∴

∴GE=

∴G在以E為圓心，為半徑的圓上運動

∴DE=

∴DG的最小值為．