Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點與軸交于點，點在軸上，過點作軸于點，交于點，交于.

(1)求直線的解析式和點坐標.

(2)求①的面積與的關系式.并求出當的面積為時，點坐標.在軸上確定點，使得的面積等于面積，直接寫出點的坐標；

②若直線將分成面積相等的兩部分，求的值.

③若是直線上一點，點是直線上一點，使得當沿著折疊后與重合，請直接寫出點和點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）點B為（0，1），直線l1：y=x+1；直線l2：y=x+8；（2）①點M的坐標為：（0，）或（0，）；②k=；③點Q（0，1），點P為（1，1）．

【解析】

（1）l1與y軸交于點B，則點B（0，m），將點A、B的坐標代入l1：y=x+m并解得：m=1，故點A、B的坐標分別為：（4，4）、（0，1），即可求解；

（2）①設點M（0，t），△BMA的面積等于△BEA面積，則點M、E所在的直線與AB平行，即可求解；

②直線y=kx-k+7=k（x-1）+7，當x=1時，y=7，即直線過點（1，7），即過點E，設直線交AB于點R，直線y=kx-k+7將△BEA分成面積相等的兩部分，則點R是AB的中點，坐標為：（2，），即可求解；

③如圖2，AB=5，AF=5，故AB=AF，則當△PFA沿著AP折疊后與△QPA重合時，點Q與點B重合，即點Q（0，1），即可求解．

解：（1）l1與y軸交于點B，則點B（0，m），

將點A、B的坐標代入l1：y=x+m并解得：m=1，

∴點A、B的坐標分別為：（4，4）、（0，1），

將點A坐標代入l2表達式并解得：k=1，

∴直線l1：y=x+1；直線l2：y=x+8；

（2）設點F（a，0），則點D（a，a+1）、點E（a，-a+8），

△BEA的面積=×DE×xA=×（-a+8-a-1）×4=，

解得：a=1，

故點F、D、E的坐標分別為：（1，0）、（1，）、（1，7）；

①設點M（0，t），△BMA的面積等于△BEA面積，則點M、E所在的直線與AB平行，

當M在AB上方時，

由E、M的坐標的直線EM的表達式為：y=x+t，

將點E的坐標代入上式并解得：t=，

故點M（0，）；

當M（M′）在AB下方時，

則點M′、M關于點B對稱，則點M′（0，），
故點M的坐標為：（0，）或（0，）；

②直線y=kx-k+7=k（x-1）+7，當x=1時，y=7，即直線過點（1，7），即過點E，

設直線交AB于點R，直線y=kx-k+7將△BEA分成面積相等的兩部分，

則點R是AB的中點，坐標為：（2，）；

將點R的坐標代入y=kx-k+7，

∴，

解得：k=；

③如圖2，AB=5，AF=5，故AB=AF，

則當△PFA沿著AP折疊后與△QPA重合時，點Q與點B重合，即點Q（0，1）

而OF=1，而PQ=PF，故PF=1，

故點P為（1，1）．