Question

【題目】如圖1，已知矩形ABCD，連接AC，將△ABC沿AC所在直線翻折，得到△AEC，AE交CD于點F．

（1）求證：DF=EF；

（2）如圖2，若∠BAC=30°，點G是AC的中點，連接DE，EG，求證：四邊形ADEG是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解．

【解析】

(1)根據矩形的性質得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折疊的性質得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根據全等三角形的性質即可得到結論；
(2)根據折疊的性質得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根據直角三角形的性質得到CE= AC，CE=AG=EG=AD，根據菱形的判定定理即可得到結論．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠D=∠B=90°．

∵將△ABC沿AC所在直線翻折，得到△AEC，

∴∠E=∠B=90°，CE=BC，

∴∠D=∠E，AD=CE．

∵∠AFD=∠CFE，

∴△ADF≌△CEF(AAS)，

∴DF=EF；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ADC=∠B=90°．

∵將△ABC沿AC所在直線翻折，得到△AEC，

∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC．

∵∠CAB=30°，

∴∠CAE=30°，

∴CEAC．

∵點G是AC的中點，

∴CE=AG=EG=AD，

∴∠AEG=∠EAG=30°，

∴∠DAE=30°，

∴∠DAE=∠AEG，

∴AD∥GE，

∴四邊形ADEG是菱形．