Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓，⊙O與斜邊AC交于D，過D作DH⊥AB于H，又過D作直線DE交BC于點E，使∠HDE=2∠A．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求證：OE是Rt△ABC的中位線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

則∠HOD=2∠A，

已知∠HDE=2∠A，

則∠HOD=∠HDE，

∵HD⊥AB，

∴∠HOD+∠HDO=90°，

∴∠HDE+∠HDO=90°，

即OD⊥DE，

又OD是半徑，

∴DE是⊙O的切線

（2）證明：∵DE是⊙O的切線，∠ABC=90°，

∴∠OBE=∠ODE=90°，

又OB=OD，OE=OE，

∴Rt△BOE≌Rt△DOE，

∴∠BOE=∠DOE，

∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，

又∠HOD=2∠A，

∴∠BOE=∠A，

∴OE∥AD，

而O是AB的中點，

故OE是Rt△ABC的中位線．

【解析】（1）連接OD，利用同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，得到∠HOD=2∠A，然后用等量代換得到∠ODE=90°，證明DE是⊙ O的切線．
（2）利用（1）的結論有∠ODE=90°，又已知∠OBE=90°，證明△BOE≌△DOE，得到∠BOE=∠A，所以OE∥AD，得到點E是BC的中點，可以證明OE是△ABC的中位線．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形中位線定理的相關知識，掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．