Question

【題目】在數學興趣小組活動中,小明進行數學探究活動,將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.連接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要說明理由）

(1)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，旋轉角為（30﹤﹤180）

①連接DG,BE,求證：DG=BE且DG⊥BE；

②在旋轉過程中，如圖3，連接BG,GE,ED,DB,求出四邊形BGED面積的最大值.

(2)如圖4，分別取BG,GE,ED,DB的中點M,N,P,Q,連接MN,NP,PQ,QM,則四邊形MNPQ的形狀為 ，四邊形MNPQ面積的最大值是 ,

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析;②四邊形BGED面積的最大值為6+4;（2）正方形,3+2.

【解析】

（1）①由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等，利用全等三角形對應角相等得DG=BE，∠AGD=∠AEB，如圖所示，EB交AG于點H，利用等角的余角相等得到∠GMH =90°，利用垂直的定義即可得DG⊥BE；

②根據①可知旋轉過程中，DG=BE且DG⊥BE；當BE取得最大值，即點A,B,E在同一條直線上時，四邊形BGED面積有最大值.

(2)根據中點四邊形的性質可知四邊形MNPQ是正方形，邊長的最大值為

四邊形MNPQ面積的最大值是：

(1) ①∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，

∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=，AG=AE，

∠DAB+∠GAB=∠GAB +∠GAE

∠DAG=∠BAE

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，

∴∠AGD=∠AEB，DG=BE,

如圖所示，EB交AG于點H，

在△AEH中,∠AEH+∠AHE=，

∠AEH=∠BHG,

∴∠AGD+∠BHG=，

在△HGM中, ∠AGD+∠BHG +∠GMH=，

∴∠GMH=，

則DG⊥BE；

②根據①可知旋轉過程中，DG=BE且DG⊥BE；

當BE取得最大值，即點A,B,E在同一條直線上時，四邊形BGED面積有最大值.

此時：DG=BE

四邊形BGED面積

(2)連接BE,DG，

根據中位線的性質可得

,,

四邊形MNPQ是正方形，邊長的最大值為

四邊形MNPQ面積的最大值是：

故答案為：正方形,3+2.