Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于AB兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的表達式及它的對稱軸方程；

（2）求點C的坐標，并求線段BC所在直線的函數表達式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為 對稱軸方程為：；（2）點C的坐標為（0，4），直線BC的解析式為；（3）存在點Q，使為等腰三角形，點Q的坐標為：．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，利用配方法或公式法求出對稱軸方程；

在拋物線解析式中，令，可求出點C的坐標，令，可求出點B的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式；

本問為存在型問題．若為等腰三角形，則有三種可能的情況，需要分類討論，逐一計算．

試題解析：

∵拋物線的圖象經過點A（-2，0），，解得

∴拋物線解析式為 又∵∴對稱軸方程為：

（2）在中，令，得，∴C（0，4）；令，即，整理得解得：∴A（-2，0），B（8，0）．設直線BC的解析式為，把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：，解得，直線BC的解析式為

（3）∵拋物線的對稱軸方程為：可設點Q（3，t），則可求得：①當時，有解得∴②當時，有此方程無實數根，∴此時不能構成等腰三角形；當時，有解得：∴點Q坐標為：．綜上所述，存在點Q，使為等腰三角形，點Q的坐標為：．