Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC分別交射線AD與射線CB于點E和點F，聯結CE、AF．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）當點E、F分別在邊AD和BC上時，如果設AD＝x，菱形AFCE的面積是y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）AD的值為或.

【解析】

（1）由△DOE≌△BOF，推出EO=OF，∵OB=OD，推出四邊形EBFD是平行四邊形，再證明EB=ED即可．

（2）由cos∠DAC=，求出AE即可解決問題；

（3）分兩種情形分別討論求解即可.

（1）①證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，OB＝OD，

∴∠EDO＝∠FBO，

在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF，

∴EO＝OF，∵OB＝OD，

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∵EF⊥BD，OB＝OD，

∴EB＝ED，

∴四邊形EBFD是菱形．

（2）由題意可知：，，

∵，

∴，

∴，

∵AE≤AD，

∴，

∴x2≥1，

∵x＞0，

∴x≥1．

即（x≥1）．

（3）①如圖2中，當點E在線段AD上時，ED＝EO，則Rt△CED≌Rt△CEO，

∴CD＝CO＝AO＝1，

在Rt△ADC中，AD＝．

如圖3中，當的E在線段AD的延長線上時，DE＝DO，

∵DE＝DO＝OC，EC＝CE，

∴Rt△ECD≌Rt△CEO，

∴CD＝EO，

∵∠DAC＝∠EAO，∠ADC＝∠AOE＝90°，

∴△ADC≌△AOE，

∴AE＝AC，

∵EO垂直平分線段AC，

∴EA＝EC，

∴EA＝EC＝AC，

∴△ACE是等邊三角形，

∴AD＝CDtan30°＝，

綜上所述，滿足條件的AD的值為或．