Question

【題目】某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件，如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

(1)求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

(3)若在銷售過程中每一件商品有a（a＞1）元的其他費用，商家發現當售價每件不低于57元時，每月的銷售利潤隨x的增大而減小，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=-10x2+110x+2100（0＜x≤15且x為整數）；(2)當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；(3)1＜a≤3.

【解析】

（1）根據題意可知y與x的函數關系式．
（2）根據題意可知y=-10（x-5.5）2+2402.5，當x=5.5時y有最大值．

(3) y=（210-10x）（50+x-40-a）=-10x2+（110+10a）x+2100-210a

根據題意知-≤57-50，解得a≤3,又因為a＞1，所以可求出a的范圍，1＜a≤3.

(1)由題意得：
y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x2+110x+2100（0＜x≤15且x為整數）；
(2)由(1)中的y與x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）2+2402.5，
∵a=-10＜0，
∴當x=5.5時，y有最大值2402.5，
∵0＜x≤15，且x為整數，
當x=5時，50+x=55，y=2400（元），
當x=6時，50+x=56，y=2400（元），
∴當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；
(3) y=（210-10x）（50+x-40-a）=-10x2+（110+10a）x+2100-210a

根據題意知-≤57-50，解得a≤3,又因為a＞1，所以可求出a的范圍，1＜a≤3.