Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（1，0）、B（3，0）．拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣4的頂點為P，與y軸的交點為Q．

（1）填空：點P的坐標為；點Q的坐標為（均用含m的代數式表示）
（2）當拋物線經過點A時，求點Q的坐標．
（3）連接QA、QB，設△QAB的面積為S，當拋物線與線段AB有公共點時，求S與m之間的函數關系式．
（4）點P、Q不重合時，以PQ為邊作正方形PQMN（P、Q、M、N分別按順時針方向排列）．當正方形PQMN的四個頂點中，位于x軸兩側或y軸兩側的頂點個數相同時，直接寫出此時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）（m,﹣4）,（0,m2﹣4）
（2）解：將A（1，0）代入y=x2﹣2mx+m2﹣4中，

得到1﹣2m+m2﹣4=0，

解得m=﹣1或3，

當m=﹣1時，m2﹣4=﹣3，點Q的坐標為（0，﹣3），

當m=3時，m2﹣4=5，點Q的坐標為（0，5）．

（3）解：如圖1中，

由題意 ，解得﹣1≤m≤1，

∴當﹣1≤m＜≤時，S= ABOQ= 2（4﹣m2）=4﹣m2．

如圖2中，

由題意 ，解得3≤m≤5，

當3≤m≤5時，S= ABOQ=m2﹣4．

（4）解：如圖3中，如圖當點N在y軸上時，滿足條件，易知m2﹣4=﹣3，解得m=﹣1或1（舍棄）．

如圖4中，作ME⊥y軸于E，PF⊥y軸于F．

由△MEQ≌△QFP，可得QE=PF=﹣m，可得點M的縱坐標為m2﹣4+m，

當m2+m﹣4＞0時，滿足條件，

解得m＜ 或m＞ （舍棄）

如圖5中，同法可得， 時滿足條件，解得2＜m＜4．

如圖6中，同法可得 時滿足條件，此不等式無解．

綜上所述，滿足條件的m的范圍是m＜ 或m=﹣1或2＜m＜4．

【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣4=（x﹣m）2﹣4，

∴頂點P（m，﹣4），

令x=0，得到y=m2﹣4，

∴Q（0，m2﹣4）．

所以答案是（m，﹣4），（0，m2﹣4）．