Question

【題目】如圖AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PC=2PB．

（1）探究線段PB，AB之間的數量關系，并說明理由；
（2）若AD=3，求AB長．

Answer 1

【答案】
（1）解：線段PB，AB之間的數量關系為：AB=3PB．

理由：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC，

∵∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCB=∠PAC，

∵∠P是公共角，

∴△PCB∽△PAC，

∴ = ，

∴PC2=PBPA，

∵PB：PC=1：2，

∴PC=2PB，

∴PA=4PB，

∴AB=3PB；

（2）解：過點O作OH⊥AD于點H，則AH= AD= ，四邊形OCEH是矩形，

∴OC=HE，

∴AE= +OC，

∵OC∥AE，

∴△PCO∽△PEA，

∴ = ，

∵AB=3PB，AB=2OB，

∴OB= PB，

∴ = = ，

∴OC= ，

∴AB=5，

【解析】（1）利用切線性質定理可證出∠PCB=∠PAC，再加上∠P是公共角，得出△PCB∽△PAC，對應邊成比例可得出PA=4PB，即AB=3PB；（2）證出△PCO∽△PEA，得出對應邊成比例，求出半徑OC=2.5,進而求出直徑AB=5.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．