Question

【題目】已知，，為正整數，．設，，，為坐標原點．若，且．

（1）求圖象經過，，三點的二次函數的解析式；

（2）點是拋物線上的一動點，直線交線段于點，若，的面積，滿足，求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由射影定理得到，即，然后代入到已知條件中得到，然后利用一元二次方程根與系數的關系求得，．利用待定系數法求二次函數解析式；

（2）由得，從而確定Q點坐標，然后利用待定系數法求得直線AQ的解析式，然后聯立方程組求點D坐標．

解：（1）∵，，∴，即．

∵，

∴．

又∵

，

∴，即．

∵，，

∴，是關于的一元二次方程①的兩個不相等的正整數根，

∴，解得．

又∵為正整數，故或．

當時，方程①為，沒有整數解．

當時，方程①為，兩根為，．

綜合知：，，．

設圖象經過，，三點的二次函數的解析式為，

將點的坐標代入得，解得．

∴圖象經過，，三點的二次函數的解析式為．

（2）如圖，直線交線段于點，由，得，

∴，，∴，∵，

設直線AQ的解析式為y=kx+b

可得解得

∴直線AQ的解析式為：，

聯立，

消去整理可得，，

由韋達定理：，而，

∴，∴，

∴點坐標為：．