Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常數）

（1）證明：無論m取什么實數，該拋物線與x軸都有兩個交點．

（2）設拋物線的頂點為A，與x軸的兩個交點分別為B、D，點B在點D的右側，與y軸的交點為 C．

①若點P為△ABD的外心，求點P的坐標（用含m的式子表示）；

②當|m|≤，m≠0時，△ABC的面積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①P(m，-1)；②有最大值；當m＝時，S△ABC最大＝3．

【解析】

（1）令y＝0，轉化成一元二次方程，計算判別式，可得判別式的值大于0，即可得出結論；

（2）①先求出點A的坐標，再求出BD的長，進而得出BE的長，再利用勾股定理求出外接圓的半徑，即可得出結論；②先求出點B的坐標，點C的坐標，分兩種情況：（i）當0<m≤時，如圖2，（ii）當-≤m<0時，如圖3，分別得出S與m的函數關系式，即可得出結論．

（1）令y＝0，則0＝x2﹣2mx+m2﹣3，

∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，

∴方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有兩個不相等的實數根，

即：無論m取什么實數，該拋物線與x軸都有兩個交點；

（2）①如圖1，

∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣3＝（x﹣m）2﹣3，

∴A(m，﹣3)，設點D(x1，0)，B(x2，0)，

∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣3，

∴BD＝x2﹣x1＝＝＝2，

過點A作平行于y軸的直線，交x軸于點E，則AE⊥x軸，

∴∠AEB＝90°，

∵點A(m，﹣3)是拋物線的頂點，

∴AE＝3，BE＝BD＝，

∴P為△ABD的外心，

∴點P在AE上，

連接BP，

設△ABD的外接圓的半徑為r，則AP＝BP＝r，

∴PE＝AE﹣r＝3﹣r，

∵在Rt△BEP中， PE2+BE2＝BP2，

∴（3﹣r）2+（）2＝r2，

∴r＝2，

∴PE＝AE﹣AP＝1，

∴P(m，-1)；

②令y＝0，則x2﹣2mx+m2﹣3＝0，

∴x＝，

∵點B在點D的右側，

∴B(m+，0)，D(m-，0)，

令x＝0，則y＝m2﹣3，

∴C(0，m2﹣3)，

分兩種情況考慮：

（i）當0<m≤時，如圖2，

S△ABC=S梯形OCAE+S△ABES△OCB

= OE(OC+AE)+ AEBEOCOB

=m(3m2+3)+ ×3×(m+m) (3m2)(m+)

=m2+m

=（m +）2﹣，

∵>0，

∴當0<m≤時，S△ABC隨m的增大而增大，

∴當m=時，S△ABC取得最大值，最大值為3；

（ii）當-≤m<0時，如圖3，

S△ABC=S梯形EACO+S△OCBS△ABE

=OE(OC+AE)+ OCOBAEBE

=m(3m2+3)+ (3m2)(m+) (m+m)(3m2)

=m，

∵<0，

∴當-≤m<0時，S△ABC隨m的增大而減小，

∴當m=-時，S△ABC取得最大值，最大值為．

∵3＞，

∴當m=時，△ABC的面積取得最大值，最大值為3．